为什么对称矩阵的特征向量是正交的

问题描述

精选答案

应该说是：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的。

设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵，m,n为其不同的特征值，p,q分别为其对应得特征向量. 则p1(Aq)=p1(nq)=np1q (p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q 因为p1(Aq)= (p1A)q 上两式作差得： (m-n)p1q=0 由于m不等于n,所以p1q=0 即(p,q)=0,从而p,q正交. 说明：p1表示p的转置，A1表示A的转置，(Ap)1表示Ap的转置 扩展资料 同一特征值的特征向量的线性和（非0）也为该特征值特征向量，特征值3可以有两个不共线特征向量，从上面一句看出，可以有正交的两个特征向量。 实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。 特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。 线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

其他回答

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因为n阶实对称阵对应n个线性无关的特征向量，然后由施密特正交化可以构造出n个正交的单位向量，以之分别为列，便是一正交阵。