aa的转置的秩为什么等于a的秩

问题描述

精选答案

因为A乘A的秩等于A的秩，然后任意矩阵的转置矩阵的秩与原矩阵的秩相同。

A的秩 = A的行秩 = A的列秩，A^T 是 A 的行列互换，所以 r(A) = r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

1、设A为m*n的矩阵；

2、那么AX=0的解肯定是 AT*AX=0的解（AT表示A的转置）；

3、至于AT*AX=0 左右两边乘以XT，（注意查看是否符合矩阵乘法，前后列行相等才能相乘）；

4、上一步化成（AX）T*AX=0，可知AX=0，那么意味着AT*AX=0的解必定也是AX=0的解；

5、两个方程有相同的解，那么n-r（ATA）=n-r(A) 。从而r（ATA）=r(A) 。