如何证明厄米算符的本征值为实数

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精选答案

为了证明厄米算符的本征值为实数，我们需要证明如下命题：设H为一个厄米算符，v为该算符的一个本征矢量，λ为对应的本征值。

则λ是实数。证明如下：根据厄米算符的定义，我们有H† = H，即厄米算符的厄米共轭等于自身。考虑本征值问题，即Hv = λv，其中v是本征矢量，λ是本征值。将该等式两边取厄米共轭，得到v†H† = λ*v†。由于H† = H，上式可以写成v†H = λ*v†。再将上式两边同时左乘v，得到v†Hv = λ*v†v。由于v†Hv是一个纯实数，而λ*v†v也是一个纯实数（λ为待证实数），所以它们相等。因此，λ*v†v = λv†v，即λ(v†v - v†v) = 0。由于λ是待证实数且不为零，所以只有当v†v = v†v时，上述等式才成立。而利用厄米算符的性质，我们有v†Hv = (Hv)†v = (λv)†v = λ*v†v。因为λ*v†v = λv†v，所以λ*v†v - λv†v = 0。由于λ是待证实数且不为零，所以只有当v†v = v†v时，上述等式才成立。因此，v†v = v†v，即v†v是一个纯实数。综上所述，我们证明了厄米算符的本征值λ是实数。

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设厄米算符A^的本征值λ，本征函数Ψ。ÂΨ=λΨ ∫(ÂΨ)*Ψdt=∫Ψ*ÂΨdt ∫(λΨ)*Ψdt=∫Ψ*λΨdt λ*∫Ψ*Ψdt=λ∫Ψ*Ψdt ∴λ*=λ必然成立 ∴厄米算符有实的本征值λ