为什么线性变换可逆等价于它的矩阵可逆

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精选答案

线性变换可逆等价于它的矩阵可逆这一性质是线性代数中非常重要的定理，它涉及了线性变换与矩阵表示之间的联系。

首先，我们知道每一个线性变换都可以用一个矩阵来表示。设T为一个线性变换，而A为T相应的矩阵。如果T是可逆的，那么存在一个逆变换S，使得S(T(v))=v对于所有向量v成立。而对应的矩阵关系是A是可逆的，即存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。其次，如果一个线性变换T是可逆的，那么它的矩阵A也是可逆的。假设A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得AB=BA=I。我们可以定义一个线性变换S，它的矩阵表示是B，那么对于任意向量v，有S(T(v))=v。这就意味着T是可逆的，因为存在一个逆变换S满足S(T(v))=v。

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证:因为可逆矩阵是满秩矩阵,故它的等价标准形为 En.

即 A与单位矩阵等价.

注:任一矩阵A的等价标准形为

Er 0

0 0

其中 r 为A的秩.当A的秩 = n时,左上角的Er就成了En