两个相似矩阵的过渡矩阵唯一吗

问题描述

精选答案

相似矩阵应该是没有唯一性质的。

相似矩阵的定义是：两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：P^{-1}AP = B，P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。换句话说，只要你能够找到这个p，那么A和B就相似了。一个简单的列子：P_2^{-1}P_1^{-1}AP_1P2 = B 等价于 P^{-1}AP = B P = P_1P_2这个时候对于矩阵B，A是一个相似矩阵 C = P_1^{-1}AP_1 也是B的相似矩阵。注意它们的秩是一样的。说一个数值例子，你可以在matlab里试，p= 7.9664 0.0724 0.82550.0724 8.0019 -3.38220.8255 -3.3822 4.0318D (特征值矩阵)=2.0000 0 00 8.0000 00 0 10.0000H =1.0000 0 00 -0.0874 -0.99620 -0.9962 0.0874U =-0.1254 0.9767 0.1743-0.9030 -0.0396 -0.4277-0.4108 -0.2110 0.8869你大概用matlab 算一下 inv(H)UDinv(U)H = p 这说明对于p矩阵 Q^{-1}DQ = P, D ~ P, Q=U^{-1}H .Q =-0.1254 0.4882 0.86370.9767 0.2137 0.02100.1743 -0.8462 0.5036H^{-1}BH = P, B = UDU^{-1},B ~ PB =7.9664 -0.8287 -0.0000-0.8287 3.4730 -2.9848-0.0000 -2.9848 8.5606