为什么有限个可逆矩阵的乘积仍可逆

问题描述

精选答案

成立。

1、先证可逆矩阵一定可以写成矩阵的乘积,因为A=A*E,所以一定可以写成矩阵乘积的形式。

2、再证,如果A=BC,那么B,C都可逆.因为|A|=|BC|=|B||C|,A可逆。

3、所以|A|≠0,所以|B|,|C|均不为0,所以都可逆.。依据：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。可逆矩阵定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得则称B是A的一个逆矩阵，A的逆矩阵记作A-1。如何证明逆矩阵的唯一性：证明：若B,C都是A的逆矩阵，所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的。矩阵可逆充要条件：

1、矩阵可逆的充分必要条件。

2、AB=E。

3、A为满秩矩阵（即r(A)=n）。

4、A的特征值全不为0。

5、A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）

其他回答

工程之家

若 A可逆且B可逆，则AB可逆。证明：

AA^-1=1,BB^-1=1,(AB)(AB)^-1=

ABB^-1A^-1=A(BB^-1)A^-1=AA^-1=1.

若 A可逆，B可逆且C可逆，则AB可逆，则(AB)可逆，则(AB)C可逆，则ABC可逆。

类似地，有限个可逆矩阵的乘积可逆。

证：A=BCD.....P(有限个)，

所以A的行列式等于B、C、D、.....、P的行列式的乘积，因为它们都是可逆阵，所以它们的行列式全不为0，乘积当然也不为0，所以A的行列式也不为0，所以A是可逆的。