为什么幂级数逐项求导半径不变

问题描述

精选答案

设幂级数：∑(n=0,+∞) anx^n

有：lim |a(n+1)/an| = ρ ≠0

幂级数求导后：∑(n=1,+∞) nanx^(n-1)

有：lim |(n+1)a(n+1)an| =lim [(n+1)][a(n+1)/an| = ρ ≠0

即求导并不改变 幂级数 收敛半径，但是要注意的是【收敛域端点】可能从收敛经【逐项求导】而发散；收敛域缩小；

同理 逐项求积 不改变 幂级数 收敛半径，但是【端点】可能从发散 经【逐项求积】而收敛；收敛域扩大；

其他回答

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我们可以用极限的思想来理解为什么幂级数逐项求导半径不变。

假设幂级数的中心点为原点，半径为r，即幂级数收敛于以原点为圆心，r为半径的圆内。

对幂级数中的每一项进行求导，相当于在每一点处切一个斜率，这个斜率不会改变该点与原点的距离，即不会改变该点与原点之间的距离大小，也就是不会改变收敛半径。

因此，幂级数逐项求导半径不变。