为什么正交矩阵的列向量长度均为1，且正交

问题描述

精选答案

正交矩阵的定义是指矩阵的列向量两两正交且长度为1。

下面解释为什么正交矩阵的列向量长度均为1且正交。首先，对于正交矩阵的列向量长度为1的性质，我们可以通过计算得到答案。设A为一个n阶正交矩阵，A的第i列向量为ai，则根据正交矩阵的定义有：ai * ai^T = 1，其中 * 表示向量的点乘运算，ai^T为ai的转置向量。利用向量的点乘运算，上式可以表示为：ai^T * ai = 1根据点乘运算的定义，上式表示向量ai与自身的点乘结果为1。而向量与自身点乘结果为该向量的模的平方。所以有：||ai||^2 = 1即正交矩阵的列向量长度为1。其次，为什么正交矩阵的列向量是正交的。我们再次回顾正交矩阵的定义：矩阵的列向量两两正交。设A为一个n阶正交矩阵，A的第i列向量为ai，第j列向量为aj(i ≠ j)。根据正交矩阵的定义，有：ai^T * aj = 0，其中 * 表示向量的点乘运算。根据点乘运算的定义，上式表示向量ai与向量aj的点乘结果为0。而两个向量的点乘结果为它们之间的夹角的余弦值乘以它们的模的乘积。所以有：cos(θ) = ai^T * aj / (||ai|| * ||aj||) = 0其中，θ为向量ai与向量aj之间的夹角。由于cos(θ) = 0，所以θ不可能为0度或180度的倍数，即向量ai与向量aj之间的夹角不为0度或180度的倍数，因此向量ai与向量aj是正交的。综上所述，正交矩阵的列向量长度均为1且两两正交。

其他回答

小川考研录

正交矩阵的列向量长度均为1，是因为正交矩阵保持向量的长度不变。对于一个向量v，其长度为||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。而正交矩阵的每个列向量都相互垂直，也就是内积为0，因此它们的长度都为1，同时也保证了它们之间的正交性。因此，正交矩阵的列向量长度均为1且正交是由于其保持向量的长度不变且保证了向量之间的正交性。

其他回答

工商税务李

正交矩阵的定义是矩阵的列向量两两正交且长度为1。这是因为正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即Q^T * Q = I，其中Q为正交矩阵，I为单位矩阵。由此可得，Q的列向量互相正交，因为Q^T * Q = I，所以每个列向量的长度为1。这个性质在线性代数中有重要应用，例如用于旋转、正交变换等。

其他回答

在职专升本

那是经过Schimdt正交化的结果。正交矩阵不一定满足提问者所说的结论。