函数连续其导数连续吗

问题描述

精选答案

1. “连续可导”在不同的时候可能有不同指代，但是大多数时候还是说函数本身连续，并且进一步的，函数可导。

此时函数的导函数不一定是连续的。具体的例子可以去查《分析中的反例》，或者很多数学分析教材上也会有。

2. 连续函数的变上限积分一定是连续的（而且进一步的，一定是可导的）。

2. 函数f(x)在x＝0处不可导，因为不连续。函数在x＝0处左连续，所以x＝0处的左导数可以用f(x)=x+1的导数公式求。函数在x＝0处不右连续，所以x＝0处的右导数不存在。

3. 结论：函数可导可知函数是连续的，但是并不能知道导函数是连续的。你的理解有些问题。左导数和右导数可以理解为极限，但这里是原函数的极限，并不是导函数的极限。只能据此得到导函数在某点的取值，但是整个导函数是否连续是不知道的。建议你记住这条结论，在做题时会运用即可。可导函数的导数不一定可导f(x)=x^2,(x≥0),f(x)=-x^2,(x<0).f(x)处处可导，f′(x)=2|x|,在x=0不可导也不一定连续如g(x)=x^2×sin(1/x)除x=0外处处可导且g'(x)=2x×sin(1/x)-cos(1/x)，如果补充定义g(0)=0，则由导数定义可求得g'(0)=0，但显然lim(x->0)g'(x)≠g'(0)。因此g(x)的导函数不在包含x=0的区间内连续