根号3是无理数吗

问题描述

精选答案

是

根号3是一个无理数。因为它的小数部分是无限不循环的，无论算多久也算不出小数部分的规律。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。但是像根号9、根号16、根号25等，这种能开根号的就是有理数了。需要注意的是：2倍根号2、3倍根号5、4倍根号5这样的也是无理数，大家一定不要记混了。

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根号3是一个无理数。因为它的小数部分是无限不循环的，无论算多久也算不出小数部分的规律。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。但是像根号9、根号16、根号25等，这种能开根号的就是有理数了。需要注意的是：2倍根号2、3倍根号5、4倍根号5这样的也是无理数，大家一定不要记混了。

证明根号三是无理数的过程

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2所以3整除p^2，因3是质数，所以3整除p，可设p=3t,则q^2=3t^2，所以3整除q因此p和q有公约数3，与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数。

2、设x=根号3,则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1，所以p=1或3，q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。

3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1，所以存在整数s，t使ps+qt=1根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾。

有理数

有理数是整数(正整数，0，负整数)和分数的统称，是一个整数和分数的集合。整型也可以看作是一种分母。非有理数的实数叫作无理数，也就是无理数的小数部分是无限无圆的数。根编号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。无理数，又称无限不循环小数，不能写成两整数之比。如果以十进制形式写，数字的小数点后有无限个，而且不能循环。一般无理数的平方根、π和 e都是非完全平方数(它们中后两者都是超越数)等。另一个无理数的特性是连分数表达式的无限特性。无理数是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现的。