为什么任何一个函数可以写成一个奇函数与一个偶函数的和

问题描述

精选答案

因为函数f（x）一定可以分解为奇函数和偶函数之和。

其实可以直接从构造出的两个函数来证明就行了。f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2设函数y=F（x）令f（x）=[F（x）+F（-x）]/2,则f（-x）=[F（-x）+F（x）]/2=f（x）于是f（x）为偶函数令g（x）=[F（x）-F（-x）]/2,则g（-x）=[F（-x）-F（x）]/2=-g（x）则g（x）为奇函数f（x）+g（x）=[F（x）+F（-x）]/2+）[F（x）-F（-x）]/2=F（x）于是任意F（x）可表示为偶函数f（x）=[F（x）+F（-x）]/2与奇函数g（x）=[F（x）-F（-x）]/2的和所以，任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和。扩展资料函数的奇偶性也就是对任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)=-f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数。在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反。定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ(x)和偶函数ψ(x)之和。

其他回答

山西函授成考学习交流

并不是任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和，而是-个定义域是关于原点0对称的圧间的函数才有这个性质。在有这个性质基础上f(x)=1/2[f(x)+f(一x)]+1/2[f(x)一f(一x)]，很明l显上面等式中前一个中括号内是一个偶函数，后一个括号内的函数是奇函数。