同一特征值对应的特征向量线性无关吗

问题描述

精选答案

实对称矩阵不同特征值的特征向量一定是正交的。

实对称矩阵同一特征值的不同特征向量线性无关。结论很明显，书上解释得也很清楚，我猜题主问这个问题是对于下面这个问题的疑惑。若A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵U和对角阵V使得其中V对角线的元素是A的特征值，U的列向量为A的特征向量。这里说的是存在，并没有说对于实对称矩阵A的特征值分解，得到的U一定是正交矩阵。而是可以采用一些正交化方法使得U成为正交矩阵，就是说即使U不是正交矩阵，但U的各列向量线性无关，可以使用施密特进行正交化，正交化后可以得到如上所述的特征值分解形式。而对于一般的非对称的n阶方阵，把U正交化后，得到的肯定不是，而是分解为三个矩阵普通相乘的形式。参考： 申亚男, 张晓丹, 李为东. 线性代数.第2版[M]. 机械工业出版社, 2015. 矩阵乘法的本质是什么？