为什么实对称矩阵一定可以对角化

问题描述

精选答案

实对称矩阵可以对角化的原因主要有以下几点：

1. 实对称矩阵的特征值都是实数，这使得n阶实对称矩阵在实数域中有n个特征值（包括重数），且实对称矩阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶实对称矩阵共有n个无关特征向量。

2. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的，这使得对于每一个特征值，我们只需要找到一个与它对应的特征向量即可。

3. 对于n阶实对称矩阵A，若λ0具有k重特征值，那么它必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。这表明，对于具有重特征值的实对称矩阵，只需要找到对应于这个特征值的线性无关特征向量的个数，就可以确定它的秩。因此，由于实对称矩阵的特征值的个数等于矩阵的阶数n，且对于每一个特征值，都存在一个与之对应的特征向量，所以实对称矩阵一定可以对角化。