什么矩阵可以正交相似对角化，但是不是实对称矩阵

问题描述

精选答案

当然不是这样说实际上对于n阶的一般方阵来说只要可以得到n个不同的特征向量就能进行对角化的计算而可以确定的是实对称矩阵一定可以进行对角化的因为只有对称矩阵才有这样一个性质：对于不同特征值对应的特征向量，它们互相正交因此，对于重特征值，则可以通过正交化来获得对应的相互正交的特征向量。

再与其他特征值的特征向量一起，构成了n个相互正交的特征向量。而对于非对称矩阵，虽然对于重特征值时，你可以用同样的正交化方法获得相互正交的同特征值对应特征向量，但是不同特征值对应的特征向量不是正交的，而不同的特征值对应的特征向量用正交化方法是没有意义的（你能算出来，但结果不再是特征向量了，因为不同特征值的特征向量相互线性运算后不再是特征向量），所以没有办法获得n个相互正交的特征向量的。也许你会问如果是n个相同特征值的非对称矩阵是不是就能够用正交化方法获得n个相互正交的特征向量了，但是对于这种情况，你的矩阵必须是对称的，否则不满足相似对角化条件，即找不到n个线性无关特征向量。

其他回答

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一个n维正交相似的矩阵可以被正交对角化，但是如果不是实对称矩阵，则不一定可以被正交对角化。一个n维正交相似的矩阵是一个n维正交矩阵和一个n维相似矩阵的乘积，其中正交矩阵和相似矩阵都是n维的。正交矩阵的行列式为0，因此它的对角线上的元素都是0。相似矩阵的对应行和列元素成比例，因此它的对角线上的元素也成比例。然而，并不是所有的n维正交相似的矩阵都可以被正交对角化。一个n维正交相似的矩阵必须满足以下条件之一才能被正交对角化：

它的对角线上的元素都是0。

它的对角线上的元素成比例，且比例系数为实数。