无限级数一定有和吗

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精选答案

无穷级数与无穷级数的和不是一个概念。

无穷级数就是一个表达式，而无穷级数的和是人们对这个表达式的一种看法。一般的把级数的和定义为前n项部分和序列的极限。例如: 1，1/2,1/2²,1/2³..................这个表达式就称为级数。而和是人们的一种规定：目前常见的规定是 s=lims(n),其中s(n)=1+1/2+1/2²+......1/(2^n)这个级数的和s=2例如 1,2,.......n.......是一个级数，但这个级数的和不存在。例如 1,-1,1,-1,..........(-1)^n,.........是一个级数，按照部分和数列的极限来理解这个级数的和，它的和不存在。莱布尼兹当时认为这个级数是收敛的并且收敛于1/2.现在莱布尼兹的观点被采用来建立所谓的发散级数的广义和的概念。所以级数与它的和是不同的概念。

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无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

xo为该函数项级数的收敛点。相反，若数项级数发散，则称x0为该函数项级数的发散点。由此可以看出，函数项级数的敛散性是以数项级数的敛散性为基础的。