为什么包含无穷间断点的区间上定积分不存在

问题描述

精选答案

因为原函数存在定理为：若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。

此条件为充分条件，而非必要条件。即若f（x）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。扩展资料：原函数存在与间断点的关系：设F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0处不连续，则x0必为第二类间断点（对于考研数学，只能是第二类振荡间断点），而非第一类间断点或第二类无穷间断点。当f(x)存在第二类振荡间断点时，不能确定是否存在原函数，这种情况下结论与f(x)的表达式有关。原函数存在的三个结论：如果f(x)连续，则一定存在原函数；如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。

其他回答

英语学习者

在积分区间内,如果函数连续,则原函数存在,定积分才存在。而这道题中,f(x)在x=0点不连续,x=0是无穷间断点,而积分区间中包括了x=0,所以定积分不存在。

所以包含跳跃间断点区间没有原函数。定积分与端点值无关，按跳跃间断点处分成两个区间补充定义