为什么相似矩阵特征值相同

问题描述

精选答案

所谓特征值，就是：如果xa=Aa,那么x就是矩阵A的一个特征值，a就是对应的特征向量。

所谓两个矩阵相似，就是：如果A=P^(-1)BP，其中P为可逆阵，那么矩阵A和矩阵B就相似。下面解释为什么相似矩阵有相同的特征值。如果x是矩阵A的特征值，那么有：xa=Aa而A和B相似，所以有A=P^(-1）BP代入得到：xa=P^(-1)BPa等式两边同时左乘P：Pxa=BPa由于x是一个数，所以可以提出：x(Pa)=B(Pa)至此证明了x也是矩阵B的特征值，同时可以发现，他对应的特征向量是（Pa）