可逆矩阵一定是正交矩阵吗

问题描述

精选答案

可逆矩阵不一定是正交矩阵，但正交矩阵一定是可逆矩阵。

这是因为正交矩阵的特征值是模为1的复数，共轭复根成对出现，即不为零，从而可逆。扩展知识如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。