什么积分函数求不出原函数

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精选答案

只能说没有初等函数原函数，不能说没有原函数。

分部积分法换元法等常规方法，没法求原函数，但是利用幂级数展开可以求出非初等函数原函数。要快速积出来首先得牢记所有初等函数的导数和原函数各是多少，容易忘记的是普通指数函数、反三角函数以及三角函数里正余切和正余割。另外还需要记住一些比较常出现的函数的导数，比如 sqrt (1+x^2)的导数是 x / [2sqrt(1+x^2)]，这个貌似在吉米多维奇里有很多。其次有些形式的原函数基本上一看就知道要用分部积分的，比如指数、三角、幂函数以及对数函数这些函数乘起来作为原函数的时候就要记得用。用的时候注意找规律，因为有时候不是用一次分部积分就够了。另外对有理分式求原函数这些，公式和方法就要牢记。再次就是通过大量做题把眼力练好点儿，因为许多时候要用到换元法积分，要做到看到被积函数就能马上想到所有可能的把dx变成d(f(x))的情况。正常来说首先考虑的积分方法就是换元，因为它是最快的方法，所以你只有眼力练好了才能马上在第一时间里反应过来。直接换元没法搞定了才用前面说的方法。另外，还有一种换元不是靠观察得到，而是出于化简被积函数目的的。这种类型的换元比较直观，比如你一看到根号下x+1，肯定得先考虑考虑 t = sqrt (x+1)，这样就能把不容易积的函数化成你熟悉的函数来积。最后就是比较诡异的类型了，用到些技巧，有的要用完全平方公式变变形，有的要分母或者分子有理化，有的求定积分的题甚至无法直接算原函数，还要用放缩的办法来证明，有的看似积不出来的函数（我记得好像是exp(-x^2/2)sin(x)之类）诡异地先用分部积分，到最后可以发现会出来一项正好和原不定积分符号相反的项，于是移项来求原不定积分（类似设而不求的思想）。这些没什么特别的规律，题做多了就慢慢有手感了。