为什么可偏导

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精选答案

对于一元函数来说,可导和可微是等价的,而对多元函数来说,偏导数都存在,也保证不了可微性,这是因为偏导数仅仅是在特定方向上的函数变化率,它对函数在某一点附近的变化情况的描述是极不完整的.偏导数指的是因变量对于某一个自变量的变化率，可以看做是将其他自变量视作常数后，对这个一元函数求导，也就是图像在在某一平面上的变化率（这个平面是其他自变量为常数截出来的），通过梯度这个概念，我们能够展现出函数值随着每一个自变量的变化率，可以看到多元函数沿着某一方向的变化速率。

全微分可以理解为一元函数中微分的推广，意义也有相近的地方。在微积分发展的早期，函数的微分被视作是一个微小的增量，数学家们引入了无穷小的概念却不能在逻辑上达到完满的状态。在极限理论中，我们舍弃了无穷小或者说增量的概念，微分在极限理论下，实际上是一个函数，它是可微函数线性主要部分的近似。也即是每一个自变量的该变量趋于0时，函数值改变量的线性主要部分（也是最低阶的无穷小）。函数可偏导指的是对于任意自变量均可偏导，这是可微的必要条件，但是如果偏导数连续，我们就可以得到函数必然可微的结论，这是可微的充分非必要条件。