为什么伴随矩阵的值是原矩阵的n-1

问题描述

精选答案

n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵的秩的关系： 因为原矩阵的任意一个n-1阶子阵都是0，而初等变换不改变矩阵的秩以及其伴随的秩假设是n阶矩阵，矩阵的秩为n时，伴随矩阵秩也是n，因为矩阵可逆，所以行列式非零矩阵的秩是n-1时，化成标准型后轻松看出伴随的秩是1矩阵的秩小于n-1时，伴随的秩是0，伴随矩阵的秩是1。

矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。 这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

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伴随矩阵的值是原矩阵的n-1是因为伴随矩阵的每个元素是原矩阵中对应元素的代数余子式，即去掉该元素所在的行和列后所形成的(n-1)阶矩阵的行列式乘上(-1)^(i+j)，其中i和j分别是该元素在原矩阵中的行和列数。

因此，伴随矩阵的每个元素都是(n-1)阶矩阵的行列式，而原矩阵的行列式也可以通过对伴随矩阵的每个元素进行求和得到，所以伴随矩阵的值就是原矩阵的行列式除以其中任意一个元素的代数余子式，即n-1。