二次型的秩为什么和对应矩阵的秩相同

问题描述

精选答案

同济版的定义为A的秩。

书中还有一句话，二次型的标准型所含项数是确定的，等于二次型的秩。给你简单解释一下：1，因为（实）二次型的矩阵是实对称矩阵，所以二次型的矩阵总可以（相似）对角化。（书中没有证明）2，可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数。（这个你可以证明）3，在线性变换X=PY时P矩阵要求可逆（也就是经过变化以后变量的个数不能减少），所以A和P^ 对角阵P秩相同。注意1和3不一样，相似是左右乘一个可逆矩阵和他的逆。合同是乘左右乘一个可逆矩阵和他的转置。只不过正交阵转置和逆相同，不要混了。