为什么矩阵对角元素之和等于特征值之和

问题描述

精选答案

矩阵对角元素之和等于特征值之和的原因如下：

1. 特征值定义：矩阵A的特征值是Ax = λx的解λ，其中x是非零向量。

2. 矩阵的迹定义：矩阵A的迹是其对角元素之和，即tr(A) = a11 + a22 + ... + ann。

3. 特征值的性质：矩阵A的特征值之和等于其迹，即λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)。结合上述三个定义和性质，可以得到矩阵对角元素之和等于特征值之和的结论：设A的特征值为λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量为x1,x2,...,xn，那么有：Ax1 = λ1x1Ax2 = λ2x2...Axn = λnxn将上述式子的所有方程两边同时取迹，可得：tr(Ax1) = tr(λ1x1)tr(Ax2) = tr(λ2x2)...tr(Axn) = tr(λnxn)由于矩阵乘积的迹与乘积顺序无关，因此有：tr(Ax1) = tr(x1A)tr(Ax2) = tr(x2A)...tr(Axn) = tr(xnA)进一步地，有：tr(AX) = tr(XA)其中X = [x1,x2,...,xn]是由特征向量构成的矩阵。因此，有：tr(AX) = tr(λX)tr(XA) = tr(λX)由于tr(λX) = λ1 + λ2 + ... + λn，tr(A) = a11 + a22 + ... + ann，因此有：a11 + a22 + ... + ann = λ1 + λ2 + ... + λn即矩阵对角元素之和等于特征值之和。

其他回答

群达工程

因为特征值和特征向量是线性代数中矩阵的重要概念之一

根据定义,行列式是不同行不同列的项的乘积之和要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn,8,这个就是矩阵迹的定义设有N阶矩阵A，那么矩阵的迹（用tr（A）表示）就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。

其他回答

呱呱说造价

对。矩阵对角线上的值之和称为矩阵的“迹”，记作tr(A) 可以证明，任何两个相似的矩阵，其"迹"相等。

相似矩阵的特征值是一样的，所以A的特征值可以等于某个上三角矩阵的特征值。

上三角矩阵的迹就是其特征值之和，所以A的迹也等于其特征值之和 证明过程比较复杂