为什么函数级数一致收敛就连续

问题描述

精选答案

对的，一致收敛的连续函数列会收敛到一个连续函数。

证明也很简单。比如说， fn－＞f是一致收敛连续函数列，那即是说，对任意一个e＞0，存在一致的N，使得当n＞N时，｜fn（x）－f（x）｜＜e对任意的x都对。我们要证明f也是连续的，比如f（x）在x0处连续，我们要估计f（x）－f（x0）＝［f（x）－fN（x）］＋［fN（x）－fN（x0）］＋［fN（x0）－f（x0）］＝I＋II＋III。其中I和III都是充分小的，这是由一致收敛的条件得到的；当x－＞x0时，第II项也是充分小的，这是由于fN（x）在x0处是连续的得到的。所以我们有f（x）－f（x0）充分小当x－＞x0的时候。由证明我们也知道，一致收敛和连续这两个条件都是必要的，缺一不可。