什么样的n阶矩阵会有n个线性无关的特征向量

问题描述

精选答案

矩阵对角化属于奇异值分解的一个特殊形式。

对于实方阵A，如果存在两个正交矩阵P,Q，使得矩阵可分解为A=P'DQ,D是对角阵。那么n阶矩阵就有n个线性无关的特征向量这个结论需要一个关键结论: k重特征值恰有k个线性无关的特征向量 证明太麻烦且超出知识范围, 教材都不给证明(包括同济大学的线性代数) 我只是想说一方面要掌握这个结论, 另一方面相关的定理结论也要知道 比如: 属于不同特征值的特征向量线性无关, 而实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交

其他回答

心理蒲公英

向量个数大于维数时一定线性相关。n阶矩阵的特征向量是n维向量，任意n+1个特征向量一定线性相关，所以最多有n个线性无关的特征向量。

这个矩阵只有一个2重特征值为1，而属于1的特征向量只有1个，因此n阶矩阵不一定有n个线性无关的特征向量。向量个数大于维数时一定线性相关。n阶矩阵的特征向量是n维向量，任意n+1个特征向量一定线性相关，所以最多有n个线性无关的特征向量。