为什么可逆矩阵规范型均为正数

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精选答案

如果A=PDQ，其中D=diag{I_r,0_{n-r}}，那么rank(A)=r既然A是可逆的，rank(A)=n，所以D只有I_n一个对角块，也就是单位阵。

任一A矩阵都可化为等价标准形即存在可逆矩阵P，Q 使得 PAQ =Er 00 0当A可逆时，等式左边行列式 = |P||A||Q| ≠ 0所以右边的标准形一定没有0行，即r=n即有PAQ = E所以可逆矩阵一定能化为同阶单位矩阵E左乘换行右乘换列是：用初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A实施一次相应的初等行变换。用初等矩阵右乘矩阵A，相当于对A实施一次相应的列等行变换。扩展资料：首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。对于可逆矩阵，我们通过行变换与列变换显然总是可以将其化为梯形矩阵（例如上三角矩阵），通过对上三角矩阵做初等列变换就可以得到单位矩阵了，因此可逆矩阵的等价标准型为单位阵。 对于一般形式的矩阵（非零矩阵），显然其秩不等于0，同样对其做初等变换我们仍然可以得到相应的上三角矩阵，然后再对其做列变换就可以得到矩阵diag(1,1涪涪帝皇郜郝佃酮顶捆,1,....0,0)(1的个数即为原矩阵的秩)，这是一′个非零矩阵。而只有零矩阵才等价于0矩阵

其他回答

期货羊

可逆矩阵规范型均为正数的原因在于其特征值均为正数。一个可逆矩阵的规范型可以通过对角化得到，而对角化的过程实质上是将矩阵表示为其特征向量构成的矩阵乘以一个对角矩阵。

而根据数学理论，对于任意一个实对称矩阵，其特征值均为实数，并且可以通过单位正交矩阵对角化成规范型均为正数的形式。

因此，可逆矩阵的规范型均为正数是由于其特征值均为正数的数学性质所决定的。