初等变换不改变矩阵的秩，为什么

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精选答案

初等变换不会改变矩阵的秩，任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。

1、对矩阵A施行行交换变换，设交换矩阵A中某两行得矩阵B，显然B中的任一子式经过行重新排列必是矩阵A的一个子式，两者之间只可能有符号差别，而是否为零的性质不变，因此进行交换变换后，秩不变。

2、对矩阵A施行行的倍法变换，，用k0乘矩阵A的第I行得矩阵C，C矩阵的子式或是A的子式；或是A的相应子式的k倍，因而任一子式是否为零的性质不变，所以秩不变。

3、设rA=r，A的i行元素加上第j行对应元素的k倍，得矩阵D。考虑D中的r+1阶子式，设M为D中的r+1阶子式，那么有三种可能：(a) M不包含D中的第i行元素，这时M也是矩阵A中的r+1阶子式，由rA=r的定义，M=0。(b) M包含D中第i行元素，同时也包含D中的第j行元素，这时由行列性质6，得M=0。 (c) M包含D中的第i行元素，但不包含D中的第j行元素。综上所述，证得D中所有的r+1阶子式全为零，所以rD≤rA。 另一方面，我们将D的第I行元素加上第j行对应元素的（-k） 倍，就得到矩阵A，同理可得rA≤rD 于是rD=rA，即矩阵A经过行的消法变换秩不变。同理，矩阵A经过列的初等变换秩也不会变。 矩阵的秩不随初等变换而改变，说明矩阵的秩是反映矩阵固有 性质的一个数。

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初等变换不改变矩阵的秩因为初等变换过程中只是对矩阵的行或列进行同一性质增加或减少，并没有改变矩阵的线性相关关系和线性无关关系，因此初等变换不会改变矩阵的秩这是线性代数基本知识，矩阵的秩与初等变换的性质密切相关，对于学习线性代数和矩阵的人来说，这是必须了解的知识点