A×A的转置的秩等于A的秩，为什么

问题描述

精选答案

对于一个矩阵A，我们可以定义A的转置为A^T，其中A^T的第(i,j)个元素等于A的第(j,i)个元素。

要证明A与A^T的秩相等，我们可以使用秩的定义和性质来推导。首先，我们知道矩阵A的秩定义为A的行向量或列向量的最大线性无关组的维数。假设A的秩为r，即存在一个r阶子矩阵B，它的行向量或列向量组成了A的最大线性无关组。考虑A^T的秩。由于A^T的行向量或列向量与A的列向量或行向量相对应，所以B^T可以被看作是由A的最大线性无关组的对应行向量或列向量构成的矩阵。由于B是一个r阶子矩阵，所以B^T也是一个r阶子矩阵。因此，B^T的行向量或列向量组成了A^T的最大线性无关组。综上所述，A和A^T具有相同的最大线性无关组，因此它们的秩相等。

其他回答

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证他们同解即可。设A是m×n的矩阵.

1，首先Ax=0是A'Ax=0的解。

2，A'Ax=0→两边同乘以x’则有x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0 故两个方程是同解的.根据同解的定理，他们两个的秩就相等。证A乘以A的转置的秩等于A的秩同理。