相似对角化的充分必要条件

问题描述

精选答案

一个矩阵An可相似对角化的充分必要条件有两个：

一是An有n个线性无关的特征向量，

二是An的k重特征值满足n-r(E-A)=k。

相似对角化的概念矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。可相似对角化矩阵的介绍可相似对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P （-1）AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T ： V → V 被称为可对角化的，如果存在 V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。可相似对角化的充分条件除了充要条件外，一个矩阵An可相似对角化的充分条件是：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。充分必要条件的概念充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。