规范正交基怎么算的

问题描述

精选答案

一、施密特正交化方法设{a1，a2，…，an}是欧式空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组{β1,β2，…,βm}，使得βk可以由a1，a2，…，ak线性表示，k=1,2,…,m。

先取β1=a1，那么β1是a1的线性组合且β1≠0，其次取β2=a2+aβ1，使得β2=a2+aβ1与β1正交。由0=（a2+aβ1，β1）=（a2，β1）+a（β1，β2）及β1≠0得a=-，我们取β2=a2-β1，那么（β1，β2）=0，又因为a1，a2线性无关，所以对任意实数a，a2+aβ1=a2+aa1≠0，因而β2≠0于是我们便得到了β2的表示方法。再取β3=a3+aβ2+bβ1，使得β3分别与β2，β1正交。由0=（β3，β1）=（a3+aβ2+bβ1，β1)=(a3，β1)+a（β2，β1）+b（β1，β1），∵（β2，β1）=0，∴b=-，同理可得a=-，我们取β3=a3-β2－β1，即可满足（β1，β3）=（β2，β3）=0，又因为a3，β2，β1线性无关，所以可得β3≠0，于是我们便得出了β3的表示方法。假设1<k≤m，而满足要求的β1，β2，…，βk-1都已作出，取βk=ak-β1-…-βk-1，由于假定了β1是a1，a2，…，ai的线性组合，i=1，2，…，k-1，所以把这些组合代入上式，就得到βk=a1a1+a2a2+…ak-1ak-1+ak，所以βk是a1，a2，…，ak的线性组合。由a1，a2，…，ak线性无关得出βk≠0，又因为假定了β1,β2,…,βk-1，两两正交，所以(βk,βi)=(ak,βi）-(βi,βi)=0，i=1，…，k-1，这样，β1,β2，…,βk也满足要求。再将正交组{β1,β2，…,βm}单位化，就可以得到一组规范正交基了。