证明两个矩阵相似的充要条件是什么

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精选答案

两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：（1） 求出全部的特征值；（2）对每一个特征值，设其重数为k，则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。