如何用数学归纳法证明数列有界

问题描述

精选答案

假设数列 $

{a_n

leq M$。现在要证明数列 $

{a_{n+1}

首先，由于 $

{a_n

}$ 有界，所以有 $|a_n|

其他回答

IT砖家

1 数列有界2 因为根据定义，如果数列有界，那么必须存在一个数M，使得该数列的所有项的绝对值都小于等于M。而初始情况下，我们可以取M=max{|a1|,|a2|}，即数列中前两项的绝对值的较大值。假设对于n=k，数列的所有项的绝对值都小于等于M，则对于n=k+1，有|ak+1|≤|ak|+1。根据归纳假设，|ak|≤M，因此|ak+1|≤M+1，即对于任意n，数列的绝对值都小于等于M+1，所以数列有界。

3 在应用数学归纳法证明数列有界时，需要确定一个初始的界，并递推证明该界是数列的上界或下界，并且该界存在。

其他回答

IT砖家

只要数列恒在某一区间内，该数列就有界。可用数学归纳法证明数列恒在某一区间内，再证明该数列为单调递增，即可。因为单调有界数列必有极限。

其他回答

一位电子工程师

证明存在一个正的常数M，

使得对一切正整n，都有Ⅰanl≤M。

那么数列{an}是有界的。

也可以证明{an}↗，并且an≤A

则{an}是有界的。

或者证明{an}↘，并且an≥B，

则{an}是有界的。

扩展资料：

有界数列任一项的绝对值都小于等于某一正数。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界