判断级数绝对收敛条件收敛发散的步骤

问题描述

精选答案

判断级数的绝对收敛条件以及收敛或发散的步骤如下：

1. 首先，计算级数的绝对值级数 ∑|an|，其中an是级数的项。

2. 检查绝对值级数 ∑|an| 是否收敛。可以使用不同的收敛测试来判断，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。

3. 如果绝对值级数 ∑|an| 收敛，那么原级数 ∑an 是绝对收敛的。

4. 如果绝对值级数 ∑|an| 发散，那么可以进一步进行判断。

5. 检查原级数 ∑an 是否满足比较判别法、根值判别法、积分判别法、级数收敛的必要条件（如项趋于零等）。

6. 如果满足比较判别法、根值判别法、积分判别法或其他相关的收敛准则，那么可以得出级数的收敛或发散结论。

7. 如果原级数 ∑an 既不满足绝对收敛条件，也不满足任何收敛准则，那么级数可能是发散的，但也有可能是条件收敛（即只在特定条件下收敛），此时需要使用其他方法进行判断，如交错级数的收敛性。需要注意的是，对于某些级数，可能需要使用多个收敛准则来判断。此外，对于一些特殊的级数，可能没有明确的收敛准则，这时可能需要使用其他方法或技巧进行判断。

其他回答

学习有道

条件收敛与绝对收敛判断方法：先判断是否收敛，如果收敛，且为交错级数，则绝对收敛，其实就是交错级数如果加绝对值收敛则为条件收敛，如果交错级数不加绝对值也收敛，则为绝对收敛。

条件收敛是一种微积分上的概念，如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛。绝对收敛指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

其他回答

IT科技先知道

首先, 这些级数都是收敛的.

前3个都是通项绝对值单调递减并趋于0的交错级数, 适用Leibniz判别法.

第4个要用Dirichlet判别法: 1单调递减趋于0, 而(-1)^n·sin(n)部分和有界.

(积化和差证明: sin(m)+sin(m+2)+...+sin(m+2k) = (cos(m-1)-cos(m+2k+1))/(2sin(1))).

要判别是否绝对收敛, 即考虑通项取绝对值后的级数敛散性.

1) 2n/(4n²+1)与1是同阶无穷小(二者比值趋于1/2).

根据(正项级数)比较判别法, 由∑1发散知∑2n/(4n²+1)也发散.

故∑(-1)^n·2n/(4n²+1)为条件收敛.

2) sin(π)与1是同阶无穷小(二者比值趋于π).

根据(正项级数)比较判别法, 由∑1发散知∑sin(π)也发散.

故∑(-1)^n·sin(π)为条件收敛.

3) 1/(4n²+1)与1²是同阶无穷小(二者比值趋于1/4).

根据(正项级数)比较判别法, 由∑1²收敛知∑1/(4n²+1)也收敛.

故∑(-1)^(n+1)/(4n²+1)绝对收敛.

4) |sin(n)| ≥ sin²(n) = (1-cos(2n))/(2n).

由Dirichlet判别法可证明∑cos(2n)/(2n)收敛 (cos(2n)部分和有界, 细节略).

而∑1/(2n)发散, 于是二者之差∑(1-cos(2n))/(2n)发散.

根据(正项级数)比较判别法, ∑|sin(n)|也发散.

故∑(-1)^n·sin(n)为条件收敛.