单调有界数列必有极限怎么证明

问题描述

精选答案

因为函数有界，所以函数的值域有界，所以函数值域必定有“最小上界” (supreme), S因为是单调函数,所以对应任意小的e>0, 必定存在N>0使得对于任意x>N, 都有 | f(x) - S | < e满足极限的定义。

设{x[n]}单调有界（不妨设单增）,那么存在M>=x[n]（任意n）。所以{x[n]}有上确界,记作l。对任意正数a,存在自然数N,使得x[N]>l-a。因为x[n]单增,所以当n>=N时,l-a所以|x[n]-l|所以{x[n]}极限存在,为l。证明设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当n>N时，有xn=xN，因此对即{xn}收敛到xN。如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。