怎么证明有界不一定可积

问题描述

精选答案

设f（x）在区间（a，b）上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在（a，b）上可积。

所以有界不一定可积。例如狄利克雷函数f（x）=1（x是有理数的时候），而f（x）=0（x是无理数的时候），所以f（x）是有界的。但f（x）在任意区间内有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内不可积。如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。