收敛幂级数的和函数为什么一定是解析函数

问题描述

精选答案

Weierstrass定理可以证明。

简单来说就是：在收敛域内找任意一条简单闭曲线L（曲线包围区域也属于收敛域），计算和函数在该曲线上的积分，由于是幂级数，因此级数在收敛域内内闭一致收敛于和函数(阿贝尔定理) ，因此积分和求和符号可以交换次序，由于幂级数每一项都是解析的（积分为0）， 所以和函数的积分为0。由于L是任意取的，由Morera定理，和函数解析。