交错级数是收敛还是发散

问题描述

精选答案

不能确定，注意，莱布尼茨定理所给出的条件（1）是充分非必要条件，即对非单调递减的数列{uₙ}，交错级数既可能收敛，也可能发散。

换句话说，莱布尼茨定理仅仅给出了判断交错级数收敛的充分条件，却没有给出判断交错级数发散的条件；同时，如果交错级数满足该定理的条件，也无法判断级数是绝对收敛还是条件收敛。

其他回答

IT海盗

交错级数并不一定都是收敛的。

若交错级数收敛但取绝对值后级数发散, 那么该交错级数就是条件收敛的.条件收敛的定义就是收敛而不绝对收敛.但是去掉原级数收敛的条件后结论不成立.

例如a(n) = (-1)^n, 取绝对值后发散但该交错级数不收敛.

即便要求a(n) → 0, 也可以有反例:

n为奇数时a(n) = 1, n为偶数时a(n) = -1/2^n