为什么一个有限群的任一元都能生成一个循环子群

问题描述

精选答案

有限群G的任一元a,a的次数为k,a^k=e(单位元）。

设H={a^i，0≤i≤k-1,(a^0=e)}ⅰ.任意a^i∈H==》a^（k-i)∈H[a^i][a^（k-i)]=a^k=e==>a^i的逆在H。ⅱ。任意a^i，a^j∈H[a^i][a^j]=a^(i+j)1.i+j≤k-1==>[a^i][a^j]∈H2.k≤i+j[a^i][a^j]=a^(i+j-k)∈H==>H为a生成一个G的子群，显然是循环子群。