连续可导函数的导函数一定连续吗

问题描述

精选答案

我们想要证明我们知道在的闭区间中连续，开区间中可导（之所以不打括号是因为我们不知道谁大）。

由拉格朗日中值定理可知，在所组成的开区间中存在，使得。这里注意当时，代入我们想要求的极限，可得。得证。在这个情况下导数的确在处连续，但是这是因为题目中假设了导数在处存在极限。若没有这个假设，则导数不一定连续。举个例子来说，若，易证该函数处处可导，但是导数在处不连续。这是因为在时，导数的极限不存在

其他回答

优秀教师之家

连续可导函数的导函数不一定是连续的。例如f（x）＝x^2*sin（1／x），当x不等于0时，f（x）＝0，这个函数在域内任何点都可导，但导数不连续。总之函数可导，函数一定是连续的，但不能确定导函数是连续的。如果函数可导，且多阶可导，这个函数就是越光滑的。