偶函数积分上下限可以互换吗

问题描述

精选答案

上下限互关变外面的±，你的下限-x换到上限不能变成x，只能用换元法记F(x) = ∫[0,x]f(u)du，若 f(x) 是奇函数，即f(-x) = -f(x)，有F(-x) = ∫[0,-x]f(u)du = ∫[0,x]f(-v)(-1)dv (令 u=-v)= ∫[0,x]f(v)dv = F(x) ，即 F(x) 是偶函数。

同理，若 f(x) 是偶函数，…勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里

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偶函数积分的上下限是不可以变换的，我们规定上限一定要比下限要大，这根这个函数是偶函数还是奇函数是没有任何关系的。定积分的几何意义是原函数的图像和x等于上限，还有x等于下限，单着围城的封闭图形的面积，所以上限和下限是不能够调换位置的