二阶非齐次线性微分方程的特解只有一个吗

问题描述

精选答案

通常情况下，求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解有3种方法：

①待定系数法 ②拉普拉斯变换 ③微分算子法虽然它们的解法过程形式迥异，但最后的特解形式一般情况下却是惊人的一致。

但值得一提的是对于一些特殊形式下的二阶常系数非齐次线性微分方程(如缺少y项)，按照“待定系数法”和“微分算子法”可能结果微有差异，但两者的特解形式均可。例：2y''-y'=x^2-3x，“待定系数法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x“微分算子法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x+12（提出1/D）,或y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x-4（不提出1/D，直接大除法）。该方程的齐次通解：y=C1e^(1/2x)+C2 非齐次通解：y=C1e^(1/2x)+C2-1/3x^3-1/2x^2-2x但无论如何，这两种方法得到的特解形式都是正确的，你会发现相差的一个常数在求导的时候就没了（而这种特殊的缺乏y项的二阶常系数非齐次线性微分方程刚好满足：“待定系数法”是特解，而“待定系数法”加任意常数依然是该微分方程的特解，而“微分算子法”的特解不过是诸多结果中的两个特殊形式解而已。而以上分析可以由方程的非齐次通解形式很直观的看出。）终上所述：

1. 一般情况下，不同的方法求解出来的特解形式是一致的。

2. 特殊的微分方程，用不同的方法求解出来的特解形式不完全一致，但其结果都是正确的并满足要求的。

3. 既然是特解，必然也属于通解中的一员。故特解理论上的形式绝不唯一，关键看你是如何逆向求得的。首先一般说来非齐次的，都要先求一个特解，转而化为齐次的微分方程。注意，齐次线性常系数的方程一般是可以经过若干次转换求出来的。那么一般的非齐次项，特解不好求。所以并不是所有的微分方程都可以解出显式解。好了，现在问题是，如果非齐次项是多项式pn应该怎么算。这个时候可以说明，一定有特解是多项式的形式。也就是第二种方法。并且微分阶数最小的一定是n次多项式

其他回答

沐汐说网络推广

常系数的话,特解是唯一的. 根据微分方程的解的存在和唯一性定理即可得知. 特解+由特征方程得到的解组构成该方程的通解.