柯西中值定理怎么证明

问题描述

精选答案

如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

其他回答

建造师说

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。