导数的运算法则如何证明

问题描述

精选答案

导数公式推导过程如下： y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β） 所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。 显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 常用导数：y = C(C为常数) , y' = 0。y=xn, y' = nxn-1。y = ax, y' = lna*ax。y = ex, y' = ex。y = logax , y' = 1 / (x*lna)。y = lnx , y' = 1/x。y = sinx , y' = cosx。y = cosx , y' = -sinx。 y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x。 y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x。 y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)。 y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)。y = arctanx , y' = 1/(1+x2)。

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在课本中已经证明了一些简单的导数运算法则，如：(C)'=0 (x)'=1 (x^2)'=2x 还有一些简单的求导你可以自己证明 如:(sin x)'=cos x 等 有一些复杂的必须用到高等数学中的求极限的法则 如 (ln x)'=1/x 还有是四则运算的求导法则 加减的很简单 乘除的有些会用到微分算法 复合函数和反函数求导都要用到微分计算 懂吧哈？