一个函数可导，怎么证明它的导数连续

问题描述

精选答案

证明:用反证法，设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。

如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，| f'(x) - L |L - epsilon = L'。然后考虑在a点导数的定义:lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。同理，你也可以证明，当L