0到正无穷的函数有拐点吗

问题描述

精选答案

可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ''(x)的正负发生变化的点，f ''(a)异号(由正变负或由负变正)或者不存在。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点(除端点外的I内的点)。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’(x0)=0。拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，则f‘’(x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。否则(即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c)不存在;反之则不成立;比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但f''(x)=12x^2在整个定义域内恒大于0，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点，且整个函数在R上是凹的。拐点的求法(摘录自高等数学同济5版上册第149页)可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：⑴求f''(x);⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点;⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0时，y'=0,y''=0：y在(负无穷大，0)上为增函数，y''<0，函数曲线为凸函数;y在(0，正无穷大)上为增函数，函数y''>0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。