为什么实对称矩阵一定可相似对角化

问题描述

精选答案

要从变换的角度来理解。

左乘初等矩阵，是对行作初等变换，再右乘这个初等矩阵的转置，是对列作“对称”的初等变换，因为矩阵是对称的，所以这样做一定最后可以把它对角化。

1、比如假设对称矩阵（1,1）位置的元素不为0，先用行初等变换通过第一行把第三行的第一个元素消为0，那么在右乘这个变换对应矩阵的转置后，则一定会把第三列的第一个元素消为0。

2、实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。

3、判断一个矩阵是否可对角化：先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化。如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k,则A不可对角化。