复合函数的极限运算法则条件

问题描述

精选答案

梳理如下：第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”。

例①，ψ(x)=1(x∈R)，f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，取x0=1，则u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，即lim(x→1)f(ψ(x))≠A，即定理1的结论不成立。第二个问题：关于例子x*sin(1/x)，首先，这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)=x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，而不是由两个函数的复合构成的。仅从这一点来说，把这个例子用在这里并不合适。不过，这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。其次，函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0，这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量。这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解。所以，关于例子x*sin(1/x)，无论你取x等于或不等于1π，只要x→0，它的极限就是0。对此，原问题中的陈述不正确。从这一点来说，把这个例子用在这里也不合适。合适的例子是上面的例①。第三个问题：细化一下，在定理1中是说，“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”，也就是说，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。例如，ψ(x)=sinx(x∈R)，取x0=0，则u0=0，【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立，比如在去心邻域（-1/2π，1/2π）成立】【而在x0的以远，比如在去心邻域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”。如果不存在这样的邻域，则就不符合条件。

其他回答

自考喵姐

具体来说，设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，函数 $g(x)$ 在 $g(x_0)$ 的某个邻域内有定义，且 $

lim

limits_{x

o x_0}g(x)=g(x_0)$，则复合函数 $(f

circ g)(x)=f(g(x))$ 在 $x_0$ 处有定义，并且有以下极限：

$$

lim_{x

o x_0}(f

circ g)(x)=

lim_{g(x)

o g(x_0)}f(g(x))$$

其中，右侧极限要求 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义。