什么情况下化无穷大为无穷小

问题描述

精选答案

取无穷大的倒数就是无穷小啊，要真说情况的话，也就是化为倒数之后如果更好化简就会化倒数，首先，无穷大的倒数，一定是无穷小。

这是没问题的。即lim（x→x0）1/f（x）=∞，则f（x）是无穷小，这是对的。但是你想用这个方式定义无穷小，就不行，因为有一些无穷小的倒数不是无穷大，即有一些无穷小，不是通过无穷大的倒数获得的。例如f（x）=0，就是个无穷小，是常数函数中，唯一的一个无穷小，这个无穷小的倒数就不是无穷大，而是无意义。此外f（x）=sinx/x，那么当x→∞的时候，f（x）是有界函数乘无穷小，还是无穷小。但是1/f（x）=x/sinx，在x→∞的时候，无法找到一个x趋近于∞的邻域内，f（x）恒有定义，所以lim（x→∞）x/sinx是非无穷大的极限不存在。不是无穷大。所以想通过lim（x→x0）1/f（x）=∞，则f（x）是无穷小来定义无穷小，会排除诸如f（x）=0；lim（x→∞）sinx/x这类倒数不是无穷大的无穷小。所以这样定义就不正确了。