分段函数求原函数需要注意什么

问题描述

精选答案

首先将函数分为两类：分段函数和非分段函数。

非分段函数：定义域为区间形式，在该区间上函数连续且表达式唯一。（可以看出他在区间内是必可导，有原函数的）分段函数：由非分段函数拼接而成的一个函数。（可以连续的）例如：ln|x|就是分段函数，由（0，＋∞）与（－∞，0）两部分拼接而成。然后，我们将连续与间断的讨论限定在区间上某分段函数，而不是定义在定义域上；将微积分看做是对各个分段上的研究，最后拼在一起。间断：对于1/x而言，x＝0不在定义域内，但是却在（-1，1）这个区间内，这个区间有间断点x＝0，而这个区间不是定义区间，与初等函数在定义区间连续不矛盾。同时把无定义点纳入了间断的讨论中。微积分：我们讨论导数时，对于边界点一般都只讨论左右导，既不可导，因为只有一侧，那么对于分段函数，其定义域实际是拼接而成的，因此在讨论时，要特别讨论，如果该点无定义那显然是不可导的，如果有定义则比较左右导数。原函数存在定理：函数可导则其导函数：

①连续②间断（间断点无定义或为震荡间断点）一个函数存在原函数，则该该函数：

①连续②间断（间断点无定义或为震荡间断点）因为各个区间不相关，那么拼接后是否连续也就不必然，只能保证在各区间内连续，因为区间内是同一个表达式。震荡的情况其实也是又多个区间拼成的。对于区间连续函数不连续，理解为各部分拼接而成也是不矛盾的，因为各部分原函数在端点求导都是单侧导数，不是导数，而函数不连续就注定了原函数在该点左右导不同，既不可导，而又因为函数在这点有定义（区间连续），但是却无法由原函数求导得到，故在该区间无原函数。