积分与路径无关为什么和梯度有关

问题描述

精选答案

曲线积分在对应区域内任意一条闭合曲线积分都等于零，又因为对于A、B之间任意给定的两条路径，总是可以构成一条闭合曲线，那么该矢量函数在任何路径上的积分都相等，也即积分与路径无关。

曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy在单连通区域D内与路径无关<==>存在U(x,y)，使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy<==>向量F＝P(x,y)i+Q(x,y)j是u(x,y)的梯度∫F·dr只与首尾两点的坐标有关。因为事实上曲线积分求的就是力做的功，而功就与路径无关。